Le nombre phi

Reflex, juin 2007

Le nombre φ exprime une proportion bien précise entre deux grandeurs lorsque le rapport entre la grande (g) et la petite (p) est égal au rapport entre la somme des deux à la plus grande: φ=g/p=(g+p)/g. Sa définition détermine φ comme solution de l'équation φ²= φ+1, ce qui donne le nombre irrationnel [FuturaSciences] φ=(1+√5)/2=1.6180339887... [Michel]
Cette «proportion divine» a acquis la réputation d'être particulièrement harmonieuse, en particulier dans le cas du rectangle d'or [ACRouen | Hubaut] pour lequel le rapport entre longueur et largeur est φ. De même, on postule l'utilisation de φ en architecture classique ou encore dans le cas de l' Homme de Vitruve dessiné par Léonard de Vinci (l'humain parfait inscrit dans un cercle et un carré). Il est par contre certain que le nombre d'or  [ACNouméa | ACPoitiers | Ekopedia | Eveilleau | iFrance | JaquierDrapel | Mézerville | Michel | NbOr | Trucsmaths] apparaît en botanique. Les fleurs maximisent la quantité de lumière reçue par chaque feuille, en réduisant l'ombre portée par les feuilles se trouvant plus haut sur la tige. Quant aux tournesols, ils entassent un maximum de graines dans leur fleur. Dans les deux cas, il s'agit de remplir de manière optimale les 360 degrés disponibles sur un cercle. Pour ce faire, il est essentiel d'éviter les fractions (ou nombres rationnels) comme 1/2, 3/4 ou 22/7, car celles-ci amèneraient graines et feuilles à s'aligner. La nature suit ainsi les nombres de la suite de Fibonacci, dont le rapport est proche du nombre d'or.
Car φ et le nombre le plus éloigné possible des nombres rationnels. Cela se voit mathématiquement à sa fraction continue: φ= 1+1/(1+1(1+...)). Pour approcher de φ par un rationnel, il faut arrêter cette suite infinie de fractions en ignorant les '...' quelque part. Le nombre est alors proche d'un rationnel si l'approximation est bonne, c'est-à-dire si les '...' sont petits par rapport au nombre situé devant eux. Dans le cas de φ, ce nombre est toujours 1, à savoir le plus petit nombre permis dans une fraction continue. L'approximation est donc peu précise, ce qui amène à la conclusion que φ et bien le nombre le plus «irrationnel» qui soit. Et que la nature est plutôt douée en mathématique. ■ Daniel Saraga

Compléments:

• catégories de nombres
• lexique de mathématique